Calcul litteral

Objectif 1 Reconnaître une somme ou un produit

Exemple expliqué

Cette expression est-elle une somme ou un produit ? 3 + (2 + 3𝑥)(𝑥 − 2)

Je repère les grands morceaux de l'expression : 3 + (2 + 3𝑥)(𝑥 − 2)
Ils sont reliés par un + : premier terme : 3 deuxième terme : (2 + 3𝑥)(𝑥 − 2)
Cela compte pour la suite : Développer, c'est transformer un produit en une somme. Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.
Exemple : 𝑥(4 − 𝑦) = 4𝑥 − 𝑥𝑦 De gauche à droite, je développe. De droite à gauche, je factorise.

C'est une somme de deux termes : 3 et (2 + 3𝑥)(𝑥 − 2)

À retenir

Développer : produit ⇒ somme. Factoriser : somme ⇒ produit.

Objectif 2 Développer avec la distributivité simple

Exemple expliqué

Développe D = −6(−2𝑥 + 4)

J'utilise la distributivité : 𝑎(𝑏 + 𝑐) = ab + ac
Rappel, règle des signes : + par + devient + − par − devient + + par − devient − − par + devient −
Je multiplie −6 par le premier terme : −6 × (−2𝑥) = +12𝑥 (− par − devient +)
Je multiplie −6 par le deuxième terme : −6 × 4 = −24 (− par + devient −)
J'écris la somme obtenue : D = 12𝑥 − 24

D = 12𝑥 − 24

À retenir

𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse. Un − devant une parenthèse change les signes dans la parenthèse.

Objectif 3 Développer avec la double distributivité

Exemple expliqué

Développe et réduis A = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 8)

J'utilise la double distributivité : (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 Il y a donc 4 produits.
Je multiplie 2𝑥 par chaque terme de la seconde parenthèse : 2𝑥 × 𝑥 = 2𝑥² 2𝑥 × 8 = 16𝑥
Je multiplie 3 par chaque terme de la seconde parenthèse : 3 × 𝑥 = 3𝑥 3 × 8 = 24
J'écris la somme des 4 produits : A = 2𝑥² + 16𝑥 + 3𝑥 + 24
Je réduis : 16𝑥 + 3𝑥 = 19𝑥

A = 2𝑥² + 19𝑥 + 24

À retenir

(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 4 produits, puis je réduis.

Objectif 4 Factoriser avec un facteur commun

Exemple expliqué

Factorise C = 4𝑥 − 4𝑦 + 8

Je cherche un facteur commun à chaque terme. Le 8 aussi contient un 4 : 8 = 4 × 2
Je fais apparaître le facteur commun partout : C = 4𝑥 − 4𝑦 + 4 × 2
Je l'écris devant et je mets entre parenthèses ce qui reste de chaque terme : C = 4(𝑥 − 𝑦 + 2)

C = 4(𝑥 − 𝑦 + 2)

À retenir

Pour factoriser, il faut trouver dans chaque terme un facteur commun.

Objectif 5 Factoriser quand le facteur commun est une expression

Exemple expliqué

Factorise B = (2 − 5𝑥)² − (2 − 5𝑥)(1 + 𝑥)

J'écris le carré comme un produit pour voir le facteur commun : B = (2 − 5𝑥)(2 − 5𝑥) − (2 − 5𝑥)(1 + 𝑥)
J'écris le facteur commun devant et je garde ce qui reste avec ses parenthèses : B = (2 − 5𝑥)((2 − 5𝑥) − (1 + 𝑥))
Je supprime les parenthèses intérieures. Le − change les signes de (1 + 𝑥) : B = (2 − 5𝑥)(2 − 5𝑥 − 1 − 𝑥)
Je réduis la seconde parenthèse : 2 − 1 = 1 et −5𝑥 − 𝑥 = −6𝑥

B = (2 − 5𝑥)(1 − 6𝑥)

À retenir

Le facteur commun peut être une expression entière. Je garde ce qui reste entre parenthèses, puis je réduis. Un − devant une parenthèse change les signes dans la parenthèse.

Objectif 6 Développer avec les identités remarquables

Exemple expliqué

Développe B = (3𝑥 − 4)²

Le carré d'une somme se voit sur un carré de côté 𝑎 + 𝑏 : on 𝑦 trouve 𝑎², 𝑏² et deux fois 𝑎𝑏.
Agrandir la figure
Les trois identités remarquables : (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² (𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²
Je reconnais (𝑎 − 𝑏)² avec 𝑎 = 3𝑥 et 𝑏 = 4.
Je calcule chaque morceau : 𝑎² = (3𝑥)² = 9𝑥² 2𝑎𝑏 = 2 × 3𝑥 × 4 = 24𝑥 𝑏² = 4² = 16
J'applique (𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² : B = 9𝑥² − 24𝑥 + 16

B = 9𝑥² − 24𝑥 + 16

À retenir

(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² (𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²

Objectif 7 Développer une expression contenant une identité remarquable

Exemple expliqué

Développe et réduis B = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) − (4 − 3𝑥)²

Je développe le premier morceau, (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) : (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 𝑥² − 3² = 𝑥² − 9
Je développe le deuxième morceau, (𝑎 − 𝑏)² : (4 − 3𝑥)² = 16 − 24𝑥 + 9𝑥²
Je remplace, en gardant les parenthèses : B = 𝑥² − 9 − (16 − 24𝑥 + 9𝑥²)
Le − change tous les signes de la parenthèse : B = 𝑥² − 9 − 16 + 24𝑥 − 9𝑥²
Je réduis : 𝑥² − 9𝑥² = −8𝑥² −9 − 16 = −25

B = −8𝑥² + 24𝑥 − 25

À retenir

Je développe chaque morceau entre parenthèses, je supprime ensuite les parenthèses, puis je réduis.

Objectif 8 Factoriser avec les identités remarquables

Exemple expliqué

Factorise B = 4𝑥² + 12𝑥 + 9

Je retrouve les termes 𝑎², 2𝑎𝑏 et 𝑏² : 4𝑥² = (2𝑥)² donc 𝑎 = 2𝑥 9 = 3² donc 𝑏 = 3
Je vérifie le double produit : 2𝑎𝑏 = 2 × 2𝑥 × 3 = 12𝑥 ✔
C'est la 1re identité remarquable : 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)²
S'il n'y a pas de 2𝑎𝑏 et que c'est une différence de deux carrés, j'utilise la 3e : 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

B = (2𝑥 + 3)²

À retenir

Je retrouve 𝑎², 2𝑎𝑏 et 𝑏². 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)² 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)² 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

Objectif 9 Factoriser 𝑎² − 𝑏² quand 𝑎 est une expression

Exemple expliqué

Factorise et réduis A = (2𝑥 + 3)² − 64

J'écris 64 comme un carré : A = (2𝑥 + 3)² − 8²
C'est une différence de deux carrés : 𝑎 = 2𝑥 + 3 et 𝑏 = 8 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Je remplace a avec ses parenthèses : A = ((2𝑥 + 3) − 8)((2𝑥 + 3) + 8)
Je supprime les parenthèses intérieures : A = (2𝑥 + 3 − 8)(2𝑥 + 3 + 8)
Je réduis chaque facteur : 3 − 8 = −5 et 3 + 8 = 11

A = (2𝑥 − 5)(2𝑥 + 11)

À retenir

𝑎 ou 𝑏 peut être une expression entière : je la remplace entre parenthèses, puis je réduis.