Droites du plan

Objectif 1 Déterminer graphiquement un vecteur directeur

Exemple expliqué

Donne un vecteur directeur de la droite 𝑑₁.

Repère avec quatre droites : d1 passe par (0 ; 1) et (1 ; 3), d2 est horizontale à la hauteur 4, d3 passe par (0 ; 3) et (3 ; 0), d4 est verticale à l'abscisse 4

Un vecteur directeur de 𝑑 est un vecteur non nul qui a la même direction que 𝑑.
Je choisis deux points de 𝑑₁ bien placés sur le quadrillage : (0 ; 1) et (1 ; 3)
Je compte le déplacement de l'un à l'autre : 1 carreau vers la droite 2 carreaux vers le haut
Donc $\vec{a}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ convient. $\vec{b}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ ou $\vec{c}\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$ conviennent aussi : il n'y a pas qu'une seule bonne réponse.

$\vec{a}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de 𝑑₁.

À retenir

Un vecteur directeur de 𝑑 est un vecteur non nul qui a la même direction que 𝑑. Une droite en a une infinité.

Objectif 2 Lire un vecteur directeur dans une équation cartésienne

Exemple expliqué

Donne un vecteur directeur de la droite d'équation 4𝑥 − 5𝑦 − 1 = 0

Toute droite a une équation de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, avec (𝑎 ; 𝑏) ≠ (0 ; 0). C'est une équation cartésienne.
Propriété : $\vec{u}\begin{pmatrix}\htmlClass{txt-red}{-b}\\\htmlClass{txt-red}{a}\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
Je lis les coefficients, avec leur signe : 4𝑥 − 5𝑦 − 1 = 0 𝑎 = 4 et 𝑏 = −5
Je calcule les coordonnées : −𝑏 = −(−5) = 5 𝑎 = 4

$\vec{u}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$

À retenir

Droite d'équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$

Objectif 3 Déterminer une équation cartésienne avec un point et un vecteur directeur

Exemple expliqué

Détermine une équation cartésienne de la droite 𝑑 passant par A(3 ; 1), de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$.

𝑑 a une équation de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
$\vec{u}$ est un vecteur directeur, donc : (−1 ; 5) = (−𝑏 ; a) 𝑎 = 5 et 𝑏 = 1
L'équation est de la forme 5𝑥 + 1𝑦 + 𝑐 = 0
Pour trouver 𝑐, je remplace 𝑥 et 𝑦 par les coordonnées de A(3 ; 1) : 5 × 3 + 1 × 1 + 𝑐 = 0 16 + 𝑐 = 0 𝑐 = −16

5𝑥 + 𝑦 − 16 = 0

À retenir

1. Le vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ donne 𝑎 et 𝑏. 2. Un point de la droite donne 𝑐.

Objectif 4 Tracer une droite à partir de son équation cartésienne

Exemple expliqué

Trace la droite 𝑑 d'équation 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0

Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point de la droite et un vecteur directeur.
Je choisis le point d'abscisse 0 : je remplace 𝑥 par 0. 3 × 0 + 2𝑦 − 5 = 0 2𝑦 = 5 𝑦 = 2,5
Le point A(0 ; 2,5) appartient à 𝑑.
𝑎 = 3 et 𝑏 = 2, donc $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de 𝑑.
Je place A, puis je trace $\vec{u}$ à partir de A : 2 carreaux vers la gauche, 3 vers le haut. La droite passe par A et suit $\vec{u}$.
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𝑑 passe par A(0 ; 2,5) et a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$.

À retenir

Pour tracer : un point (avec 𝑥 = 0, par exemple) + un vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.

Objectif 5 Montrer que deux droites sont parallèles avec leurs vecteurs directeurs

Exemple expliqué

Démontre que les droites 𝑑₁ : 6𝑥 − 10𝑦 − 5 = 0 𝑑₂ : −9𝑥 + 15𝑦 = 0 sont parallèles.

Propriété : deux droites sont parallèles ⇔ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Je lis un vecteur directeur de chaque droite, avec $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ : 𝑑₁ : 𝑎 = 6, 𝑏 = −10, donc $\vec{u}\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}$ 𝑑₂ : 𝑎 = −9, 𝑏 = 15, donc $\vec{v}\begin{pmatrix}-15\\-9\end{pmatrix}$
Je calcule le déterminant : $\det(\vec{u}\,;\vec{v})$ = 10 × (−9) − 6 × (−15) $\det(\vec{u}\,;\vec{v})$ = −90 + 90 = 0
Le déterminant est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Les droites 𝑑₁ et 𝑑₂ sont parallèles.

À retenir

Parallèles ⇔ vecteurs directeurs colinéaires ⇔ $\det(\vec{u}\,;\vec{v})$ = 0

Objectif 6 Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite

Exemple expliqué

Détermine l'équation réduite de la droite 𝑑 : 6𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite de la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 Il s'agit donc d'isoler 𝑦.
Je fais passer 6𝑥 et −5 dans le membre de droite, en changeant leur signe : 3𝑦 = −6𝑥 + 5
Je divise tout par 3 : 𝑦 = $\frac{-6x+5}{3}$
Je simplifie : 𝑦 = −2𝑥 + $\frac{5}{3}$

𝑦 = −2𝑥 + $\frac{5}{3}$

À retenir

Cartésienne ⇒ réduite : j'isole 𝑦. Réduite ⇒ cartésienne : je ramène tous les termes dans le membre de gauche. Parallèle à l'axe des ordonnées : 𝑥 = 𝑛.

Objectif 7 Lire la pente et l'ordonnée à l'origine

Exemple expliqué

Donne la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite 4𝑥 + 2𝑦 = 1

Dans l'équation réduite 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 : 𝑚 est la pente (ou coefficient directeur) ; 𝑝 est l'ordonnée à l'origine.
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J'isole 𝑦 : 2𝑦 = −4𝑥 + 1 𝑦 = −2𝑥 + $\frac{1}{2}$
Je lis : 𝑚 = −2 et 𝑝 = $\frac{1}{2}$

Pente : −2 Ordonnée à l'origine : $\frac{1}{2}$

À retenir

Dans 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 : 𝑚 est la pente, 𝑝 est l'ordonnée à l'origine. On retrouve l'expression d'une fonction affine.

Objectif 8 Tracer une droite d'équation réduite

Exemple expliqué

Trace la droite 𝑑₁ : 𝑦 = 2𝑥 + 3

L'ordonnée à l'origine est 3 : le point (0 ; 3) appartient à 𝑑₁.
Je choisis un deuxième point, d'abscisse 2 : 𝑦 = 2 × 2 + 3 = 7 le point (2 ; 7) appartient à 𝑑₁.
Je trace la droite passant par ces deux points.
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Deux cas particuliers : 𝑦 = 4 : parallèle à l'axe des abscisses, passant par (0 ; 4) ; 𝑥 = 3 : parallèle à l'axe des ordonnées, passant par (3 ; 0).

𝑑₁ passe par (0 ; 3) et (2 ; 7).

À retenir

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 : je place (0 ; 𝑝), je calcule un deuxième point, je trace. 𝑦 = 𝑘 : parallèle à l'axe des abscisses. 𝑥 = 𝑘 : parallèle à l'axe des ordonnées.

Objectif 9 Vérifier si un point appartient à une droite

Exemple expliqué

Le point B(346 ; 2 420) appartient-il à la droite 𝑑 : 𝑦 = 7𝑥 − 3 ?

Un point appartient à une droite lorsque ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
Je remplace 𝑥 par l'abscisse de B : 7 × 346 − 3 = 2 419
Je compare avec l'ordonnée de B : 2 419 ≠ 2 420

Le point B n'appartient pas à la droite 𝑑.

À retenir

Je remplace 𝑥, je calcule, je compare avec 𝑦. Pour montrer que A, B et C sont alignés, il suffit de montrer que A vérifie l'équation de la droite (BC).

Objectif 10 Déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points

Exemple expliqué

A(4 ; −1) et B(3 ; 5) sont deux points de la droite 𝑑. Détermine l'équation réduite de 𝑑.

L'équation réduite est de la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝. Si A et B n'ont pas la même abscisse, la pente est 𝑚 = $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Je calcule la pente : 𝑚 = $\frac{5-(-1)}{3-4}$ = $\frac{6}{-1}$ = −6
L'équation est de la forme 𝑦 = −6𝑥 + 𝑝. A(4 ; −1) appartient à 𝑑, donc ses coordonnées vérifient l'équation : −1 = −6 × 4 + 𝑝
J'isole 𝑝 : 𝑝 = −1 + 6 × 4 = 23

𝑦 = −6𝑥 + 23

À retenir

1. La pente avec 𝑚 = $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, dans le même ordre en haut et en bas. 2. L'ordonnée à l'origine 𝑝 avec un point.

Objectif 11 Comparer les pentes pour trouver la position de deux droites

Exemple expliqué

Les droites 𝑑₅ : 𝑦 = −𝑥 + 7 𝑑₆ : 𝑦 = 3 sont-elles parallèles ou sécantes ?

Propriété : deux droites d'équations 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 et 𝑦 = m'x + p' sont parallèles ⇔ leurs pentes sont égales : 𝑚 = m'. Si les pentes sont différentes, les droites sont sécantes.
Je lis les pentes : 𝑑₅ : 𝑦 = −1𝑥 + 7, pente −1 𝑑₆ : 𝑦 = 0𝑥 + 3, pente 0
Je compare : −1 ≠ 0.

Les droites 𝑑₅ et 𝑑₆ sont sécantes.

À retenir

Même pente ⇒ parallèles. Pentes différentes ⇒ sécantes. Deux droites 𝑥 = … sont parallèles à l'axe des ordonnées, donc parallèles entre elles.