Systèmes d équations et droites

Objectif 1 Vérifier qu'un couple est solution d'un système

Le couple (1 ; 2) est-il solution du système $\begin{cases}2x-y=0\\3x-4y=-5\end{cases}$ ?

Deux équations à deux inconnues 𝑥 et 𝑦 forment un système. On les écrit l'une sous l'autre, avec une accolade.
Un couple (𝑥 ; 𝑦) qui vérifie les deux équations à la fois est une solution du système.
Je remplace 𝑥 par 1 et 𝑦 par 2 dans la 1re équation : 2 × 1 − 2 = 0 ✔
Puis dans la 2e équation : 3 × 1 − 4 × 2 = 3 − 8 = −5 ✔

Oui, (1 ; 2) est solution : il vérifie les deux équations.

Une solution d'un système est un couple (𝑥 ; 𝑦) qui vérifie les deux équations.

Résous par la méthode de substitution $\begin{cases}3x+2y=0\\x-4y=14\end{cases}$

J'isole l'inconnue la plus facile : 𝑥 dans la 2e équation. $\begin{cases}3x+2y=0\\\htmlClass{txt-red}{x=14+4y}\end{cases}$
Je remplace 𝑥 par 14 + 4𝑦 dans la 1re équation : c'est la substitution. $\begin{cases}3(\htmlClass{txt-red}{14+4y})+2y=0\\x=14+4y\end{cases}$
Je résous l'équation qui ne contient plus que 𝑦 : 42 + 12𝑦 + 2𝑦 = 0 14𝑦 = −42 𝑦 = $-\frac{42}{14}$ = −3
Je remplace 𝑦 par −3 dans 𝑥 = 14 + 4𝑦 : 𝑥 = 14 + 4 × (−3) = 2

La solution est le couple (2 ; −3). 𝑆 = {(2 ; −3)}

1. J'isole une inconnue. 2. Je la remplace dans l'autre équation. 3. Je résous, puis je remplace pour trouver la seconde inconnue.

Résous par la méthode des combinaisons linéaires $\begin{cases}3x-2y=11\\6x+3y=15\end{cases}$

Ici, isoler une inconnue ferait apparaître des fractions : la substitution compliquerait les calculs.
Je multiplie la 1re équation par 2, pour avoir 6𝑥 dans les deux équations : $\begin{cases}\htmlClass{txt-red}{6x}-4y=22\\\htmlClass{txt-red}{6x}+3y=15\end{cases}$
Je soustrais les deux équations membre à membre : les 𝑥 disparaissent. 6𝑥 − 6𝑥 − 4𝑦 − 3𝑦 = 22 − 15 −7𝑦 = 7 𝑦 = −1
Je remplace 𝑦 par −1 dans une des deux équations, au choix : 3𝑥 − 2 × (−1) = 11 3𝑥 + 2 = 11 3𝑥 = 9 𝑥 = 3

𝑆 = {(3 ; −1)}

1. Je multiplie pour avoir le même coefficient devant une inconnue. 2. Je soustrais pour l'éliminer. 3. Je résous, puis je remplace.

Détermine graphiquement la solution du système $\begin{cases}-2x+y=0\\4x-y=4\end{cases}$

Chaque équation est celle d'une droite. Je les écris sous forme réduite : −2𝑥 + 𝑦 = 0 devient 𝑦 = 2𝑥 4𝑥 − 𝑦 = 4 devient −𝑦 = −4𝑥 + 4, soit 𝑦 = 4𝑥 − 4
Je trace les deux droites dans un repère.
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Le couple solution est formé des coordonnées du point d'intersection. Je lis : (2 ; 4).

𝑆 = {(2 ; 4)}

Graphiquement, la solution d'un système est le couple des coordonnées du point d'intersection des deux droites.

Démontre que le système $\begin{cases}-3x+y=1\\6x-2y=6\end{cases}$ n'a pas de solution.

J'écris chaque équation sous forme réduite : −3𝑥 + 𝑦 = 1 devient 𝑦 = 3𝑥 + 1 −2𝑦 = −6𝑥 + 6 devient 𝑦 = $\frac{-6x}{-2}+\frac{6}{-2}$, soit 𝑦 = 3𝑥 − 3
Les deux droites ont le même coefficient directeur, 3 : elles sont parallèles.
Leurs ordonnées à l'origine sont différentes, 1 et −3 : elles sont strictement parallèles.
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Elles n'ont aucun point d'intersection, donc le système n'a pas de solution.

𝑆 = ∅

Droites strictement parallèles ⇒ pas de point d'intersection ⇒ pas de solution : 𝑆 = ∅.

Démontre que le système $\begin{cases}-6x-3y=-6\\2x+y=2\end{cases}$ admet une infinité de solutions.

J'écris la 1re équation sous forme réduite : −3𝑦 = 6𝑥 − 6 𝑦 = $\frac{6}{-3}x-\frac{6}{-3}$ 𝑦 = −2𝑥 + 2
Puis la 2e : 2𝑥 + 𝑦 = 2 devient 𝑦 = −2𝑥 + 2
Les deux droites ont la même équation : elles sont confondues. Elles ont une infinité de points d'intersection.

Le système a une infinité de solutions : tous les couples (𝑥 ; 𝑦) qui vérifient 𝑦 = −2𝑥 + 2.

Droites sécantes ⇒ une seule solution. Strictement parallèles ⇒ aucune solution. Confondues ⇒ une infinité de solutions.