Equations | Kliks

Objectif 1 Résoudre une équation du premier degré

Résous l'équation −5𝑥 + 3 = −3𝑥 + 2

But : trouver 𝑥. C'est-à-dire isoler 𝑥 pour arriver à 𝑥 = nombre
Je regroupe les 𝑥 à gauche et les nombres à droite : −5𝑥 + 3𝑥 = 2 − 3 Attention : un terme qui change de membre change de signe.
Je réduis chaque membre : −2𝑥 = −1
Je divise par le nombre devant 𝑥, ici −2 : 𝑥 = $\frac{-1}{-2}$ = $\frac{1}{2}$

𝑥 = $\frac{1}{2}$

1. Les 𝑥 d'un côté, les nombres de l'autre, en changeant de signe. 2. Je réduis. 3. Je divise par le nombre devant 𝑥.

Résous dans ℝ (4𝑥 + 6)(3 − 7𝑥) = 0

Propriété : si 𝐴 × 𝐵 = 0, alors 𝐴 = 0 ou 𝐵 = 0. Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.
Ici, un produit est égal à 0 : c'est une équation-produit. Soit 4𝑥 + 6 = 0, soit 3 − 7𝑥 = 0. Attention : la propriété ne marche que si l'autre membre est 0.
Je résous la première équation : 4𝑥 = −6 𝑥 = $-\frac{6}{4}$ = $-\frac{3}{2}$
Je résous la deuxième : −7𝑥 = −3 𝑥 = $\frac{-3}{-7}$ = $\frac{3}{7}$

L'équation a deux solutions : $S=\left\{-\frac{3}{2}\,;\frac{3}{7}\right\}$

Si 𝐴 × 𝐵 = 0, alors 𝐴 = 0 ou 𝐵 = 0. Je résous une équation par facteur.

Résous dans ℝ (3𝑥 + 1)(1 − 6𝑥) − (3𝑥 + 7)(3𝑥 + 1) = 0

Le premier membre n'est pas un produit, c'est une différence. Je commence par factoriser pour obtenir une équation-produit.
Le facteur commun est 3𝑥 + 1 : (3𝑥 + 1)[(1 − 6𝑥) − (3𝑥 + 7)] = 0
Je supprime les parenthèses et je réduis : (3𝑥 + 1)(1 − 6𝑥 − 3𝑥 − 7) = 0 (3𝑥 + 1)(−9𝑥 − 6) = 0
Soit 3𝑥 + 1 = 0 : 3𝑥 = −1, 𝑥 = $-\frac{1}{3}$ Soit −9𝑥 − 6 = 0 : −9𝑥 = 6, 𝑥 = $\frac{6}{-9}$ = $-\frac{2}{3}$

L'équation a deux solutions : $S=\left\{-\frac{2}{3}\,;-\frac{1}{3}\right\}$

Un produit égal à 0 ? Sinon, je factorise d'abord, puis j'utilise la propriété de l'équation-produit.

Résous dans ℝ 𝑥² = 16 puis 𝑥² = −8

Les solutions de 𝑥² = 𝑎 dépendent du signe de 𝑎 : si 𝑎 > 0 : deux solutions, $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ ; si 𝑎 = 0 : une seule solution, 0 ; si 𝑎 < 0 : pas de solution.
Si 𝑎 < 0, il n'y a pas de solution car un carré est toujours positif.
𝑥² = 16 : 16 > 0, donc deux solutions : 𝑥 = $-\sqrt{16}$ = −4 et 𝑥 = $\sqrt{16}$ = 4 Attention : n'oublie pas la solution négative, (−4)² = 16 aussi.
𝑥² = −8 : −8 est négatif, donc pas de solution dans ℝ.

𝑥² = 16 : 𝑆 = {−4 ; 4} 𝑥² = −8 : 𝑆 = ∅

𝑥² = 𝑎 : 𝑎 > 0 ⇒ $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ 𝑎 = 0 ⇒ 0 𝑎 < 0 ⇒ pas de solution

Résous dans ℝ $\frac{3x+5}{x-1}=0$

Propriété : si $\frac{A}{B}=0$, alors 𝐴 = 0 et 𝐵 ≠ 0. Un quotient est nul quand son numérateur est nul, et son dénominateur ne doit pas l'être.
Je cherche d'abord la valeur interdite : l'équation n'est pas définie pour 𝑥 − 1 = 0, soit pour 𝑥 = 1.
Pour 𝑥 ≠ 1, l'équation équivaut à : 3𝑥 + 5 = 0 3𝑥 = −5 𝑥 = $-\frac{5}{3}$
Je vérifie que la solution n'est pas la valeur interdite : $-\frac{5}{3}$ ≠ 1.

$S=\left\{-\frac{5}{3}\right\}$

1. Je cherche la valeur interdite (dénominateur nul). 2. Je résous numérateur = 0. 3. J'écarte la valeur interdite si elle apparaît.

Résous dans ℝ $\frac{x+3}{x-3}=\frac{2}{x-3}$

Valeur interdite : l'équation n'est pas définie pour 𝑥 − 3 = 0, soit pour 𝑥 = 3.
Pour 𝑥 ≠ 3, je fais tout passer dans le membre de gauche : $\frac{x+3}{x-3}-\frac{2}{x-3}=0$
Je réduis au même dénominateur pour obtenir une équation-quotient : $\frac{x+3-2}{x-3}=0$, soit $\frac{x+1}{x-3}=0$
Pour 𝑥 ≠ 3, l'équation équivaut à : 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = −1

𝑆 = {−1}

1. Valeur interdite. 2. Tout dans le membre de gauche, pour avoir « = 0 ». 3. Même dénominateur. 4. Numérateur = 0.