Inéquations

Objectif 1 Résoudre une inéquation du premier degré

Exemple expliqué

Résous l'inéquation 2𝑥 + 3 < 4 − 5𝑥 et représente les solutions sur une droite graduée.

Une inéquation est une inégalité qui contient un nombre inconnu 𝑥. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui vérifient cette inégalité.
On utilise les mêmes techniques que pour résoudre une équation. Les 𝑥 à gauche, les nombres à droite : 2𝑥 + 5𝑥 < 4 − 3
Je réduis, puis je divise par 7, qui est positif : 7𝑥 < 1 𝑥 < $\frac{1}{7}$
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à $\frac{1}{7}$. $\frac{1}{7}$ n'est pas une solution : le crochet est tourné vers l'extérieur.
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$S=\left]-\infty\,;\frac{1}{7}\right[$

À retenir

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui vérifient l'inégalité. On procède comme pour une équation.

Objectif 2 Diviser par un nombre négatif dans une inéquation

Exemple expliqué

Résous l'inéquation 2(𝑥 − 4) ≤ 4𝑥 − 5 et représente les solutions sur une droite graduée.

Je développe : 2𝑥 − 8 ≤ 4𝑥 − 5
Les 𝑥 à gauche, les nombres à droite : 2𝑥 − 4𝑥 ≤ 8 − 5 −2𝑥 ≤ 3
Je divise par −2. Attention : on divise par un nombre négatif, donc on change le sens de l'inégalité. 𝑥 ≥ $\frac{3}{-2}$, soit 𝑥 ≥ $-\frac{3}{2}$
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $-\frac{3}{2}$. $-\frac{3}{2}$ est une solution : le crochet est tourné vers les solutions.
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$S=\left[-\frac{3}{2}\,;+\infty\right[$

À retenir

Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Objectif 3 Dresser le tableau de signe de 𝑎𝑥 + 𝑏

Exemple expliqué

Dresse le tableau de signe de 2𝑥 + 6

Exemple : 𝑥 ⟼ 2𝑥 − 10 est une fonction affine, représentée par une droite. Elle s'annule en 5 : négative avant, positive après.
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On le résume dans un tableau de signe :
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Astuce, avec le coefficient 𝑎 de 𝑎𝑥 + 𝑏 : si 𝑎 est +, on commence par − puis + ; si 𝑎 est −, on commence par + puis −.
Pour 2𝑥 + 6, je cherche où l'expression s'annule : 2𝑥 + 6 = 0 2𝑥 = −6 𝑥 = $\frac{-6}{2}$ = −3
Ici, 𝑎 = 2 est +, donc on commence par − dans le tableau :
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2𝑥 + 6 est négatif avant −3, nul en −3, positif après −3.

À retenir

1. Je cherche la valeur qui annule 𝑎𝑥 + 𝑏. 2. 𝑎 positif : − puis + ; 𝑎 négatif : + puis −.

Objectif 4 Dresser le tableau de signe d'un produit

Exemple expliqué

Dresse le tableau de signe de (3𝑥 − 9)(1 − 2𝑥)

Le signe du produit dépend du signe de chaque facteur : 3𝑥 − 9 et 1 − 2𝑥.
Je cherche où chaque facteur s'annule : 3𝑥 − 9 = 0 donne 𝑥 = $\frac{9}{3}$ = 3 1 − 2𝑥 = 0 donne 𝑥 = $\frac{-1}{-2}$ = $\frac{1}{2}$
Je range ces valeurs dans l'ordre sur la ligne 𝑥 : $\frac{1}{2}$ puis 3. Pour 1 − 2𝑥 = −2𝑥 + 1, 𝑎 = −2 est − : on commence par +.
Je remplis une ligne par facteur, puis la dernière ligne avec la règle des signes :
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(3𝑥 − 9)(1 − 2𝑥) est : négatif sur $\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right[$ ; positif sur $\left]\frac{1}{2}\,;3\right[$ ; négatif sur ]3 ; +∞[ ; nul en $\frac{1}{2}$ et en 3.

À retenir

Une ligne par facteur, puis la règle des signes colonne par colonne pour le produit.

Objectif 5 Résoudre une inéquation-produit

Exemple expliqué

Résous dans ℝ (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2) > 0

Le signe de (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2) dépend du signe de chaque facteur.
Je cherche où chaque facteur s'annule : 3 − 6𝑥 = 0 donne 𝑥 = $\frac{-3}{-6}$ = $\frac{1}{2}$ 𝑥 + 2 = 0 donne 𝑥 = −2
Je dresse le tableau de signe :
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Je cherche où le produit est strictement positif : entre −2 et $\frac{1}{2}$. Les valeurs −2 et $\frac{1}{2}$ donnent 0 : elles sont exclues, car l'inégalité est stricte.

$S=\left]-2\,;\frac{1}{2}\right[$

À retenir

1. Tableau de signe du produit. 2. Je lis les intervalles qui ont le bon signe. 3. Inégalité stricte : crochets ouverts aux zéros.

Objectif 6 Résoudre une inéquation-quotient

Exemple expliqué

Résous dans ℝ $\frac{2-6x}{3x-2}\le 0$

Le signe du quotient dépend du signe du numérateur 2 − 6𝑥 et du dénominateur 3𝑥 − 2.
Numérateur : 2 − 6𝑥 = 0 donne 𝑥 = $\frac{-2}{-6}$ = $\frac{1}{3}$. Dénominateur : Attention : il ne doit pas être nul. 3𝑥 − 2 ≠ 0, soit 𝑥 ≠ $\frac{2}{3}$ : c'est une valeur interdite.
Je dresse le tableau de signe. La double barre marque la valeur interdite :
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Le quotient est négatif ou nul pour 𝑥 ≤ $\frac{1}{3}$ et pour 𝑥 > $\frac{2}{3}$. $\frac{1}{3}$ est compris (le quotient vaut 0), $\frac{2}{3}$ est exclu (valeur interdite).

$S=\left]-\infty\,;\frac{1}{3}\right]\cup\left]\frac{2}{3}\,;+\infty\right[$

À retenir

Comme pour un produit, avec une différence : la valeur interdite (dénominateur nul) est toujours exclue, avec une double barre dans le tableau.