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Nombres entiers

Objectif 1 Lire et écrire des nombres entiers jusqu’aux milliards

L’essentiel

Les nombres entiers naturels sont 0, 1, 2, 3… Ils permettent notamment de compter des objets.

Un chiffre est un symbole qui sert à écrire les nombres. Les dix chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Le nombre 42 s’écrit avec les deux chiffres 4 et 2.

On regroupe les chiffres par classes de trois à partir de la droite : unités, mille, millions, milliards. Une classe située après la première garde ses trois places, même si elle contient des zéros.

Exemple expliqué

Écris en chiffres : deux milliards six millions quatre-vingts.

  1. Je repère les classes : milliards, millions, mille et unités.
  2. Je place 2 dans la classe des milliards et 006 dans celle des millions.
  3. Il n’y a pas de milliers : cette classe contient 000. La classe des unités contient 080.
  4. Je rassemble les classes :<br>2 | 006 | 000 | 080.<br><b>Attention :</b> je conserve les trois places de chaque classe après la première.
    Les classes milliards millions mille et unités contiennent respectivement 2, 006, 000 et 080 Agrandir la figure

2 006 000 080

À retenir

Je regroupe les chiffres par trois à partir de la droite. Une classe non exprimée conserve ses zéros.

Objectif 2 Déterminer le rang et la valeur d’un chiffre

L’essentiel

Le rang est la position d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre : unités, dizaines, centaines, milliers…

La valeur d’un chiffre dépend de son rang. Dans 4 072 315, le chiffre 7 est au rang des dizaines de mille : il vaut 70 000 unités.

Chaque unité de numération vaut dix unités du rang situé juste à sa droite : 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités.

Exemple expliqué

Quel est le rang du chiffre 7 dans 4 072 315 ? Quelle est sa valeur ?

  1. Je repère les rangs à partir de la droite : unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de mille…
  2. Dans 4 072 315, le chiffre 7 est au rang des dizaines de mille.
  3. Une dizaine de mille vaut 10 000 unités. Je calcule :<br>7 × 10 000 = 70 000.

7 est le chiffre des dizaines de mille.<br>Il vaut 70 000 unités.

À retenir

La position donne le rang. La valeur d’un chiffre est ce chiffre multiplié par l’unité de numération correspondante.

Objectif 3 Décomposer et recomposer un nombre entier

L’essentiel

Décomposer un entier selon ses rangs consiste à additionner les valeurs de ses chiffres. Recomposer consiste à retrouver le nombre à partir de ces valeurs.

Dans une décomposition, on peut omettre les termes nuls. Dans l’écriture du nombre, les rangs vides gardent leur zéro.

Exemple expliqué

Décompose 5 304 020 selon ses rangs.

  1. Je repère les chiffres non nuls : 5, 3, 4 et 2.
  2. Je détermine leurs valeurs :<br>5 000 000 ; 300 000 ; 4 000 ; 20.
  3. Je les écris sous forme de produits :<br>5 × 1 000 000 ; 3 × 100 000 ; 4 × 1 000 ; 2 × 10.
  4. Je relie ces produits par des signes +. Les termes dont le chiffre est 0 peuvent être omis.

5 304 020 = 5 × 1 000 000<br>+ 3 × 100 000 + 4 × 1 000 + 2 × 10.

À retenir

Je transforme chaque chiffre en sa valeur, puis j’additionne. Pour recomposer, je garde la place des rangs manquants.

Objectif 4 Distinguer chiffre et nombre d’unités de numération

L’essentiel

Le chiffre des centaines occupe une seule position. Comme tous les chiffres, il est compris entre 0 et 9.

Le nombre de centaines complètes compte tous les groupes complets de 100 unités. Il peut dépasser 9.

Dans 7 524 = 75 × 100 + 24, il y a 75 centaines complètes et 24 unités restantes. Le reste est inférieur à 100. Pour les dizaines ou les milliers, on regroupe de la même façon par 10 ou par 1 000.

Exemple expliqué

Dans 7 524, donne le chiffre des centaines et le nombre de centaines complètes.

  1. Je lis le chiffre placé au rang des centaines : c’est 5.
  2. Je cherche maintenant combien de groupes complets de 100 sont contenus dans 7 524.
  3. 7 524 = 7 500 + 24<br>7 500 = 75 × 100.<br>Il y a donc 75 centaines complètes et 24 unités restantes.

Chiffre des centaines : 5.<br>Nombre de centaines complètes : 75.

À retenir

Un chiffre occupe une seule position. Un nombre de centaines compte tous les groupes complets de 100.

Objectif 5 Convertir entre unités de numération entières

L’essentiel

Une même quantité peut s’exprimer avec différentes unités : 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités ; 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1 000 unités.

Pour convertir, on utilise la relation entre les deux unités de numération. Plus l’unité choisie est petite, plus il en faut pour représenter une même quantité non nulle.

Pour regrouper en unités plus grandes, on compte les groupes complets. Si un reste subsiste, on précise aussi les unités restantes.

Exemple expliqué

Combien d’unités représentent 18 dizaines ?

  1. Je rappelle la relation :<br>1 dizaine = 10 unités.
  2. Chaque dizaine apporte 10 unités.<br>18 dizaines apportent donc 18 × 10 unités.
  3. 18 × 10 = 180.

18 dizaines = 180 unités.

À retenir

Je m’appuie sur les relations entre unités :<br>1 centaine = 10 dizaines = 100 unités.

Objectif 6 Comparer et ranger des nombres entiers

L’essentiel

< signifie « est inférieur à » ; > signifie « est supérieur à » ; = signifie « est égal à » ; ≤ signifie « est inférieur ou égal à ».

L’ordre croissant va du plus petit au plus grand. L’ordre décroissant va du plus grand au plus petit.

Dans l’écriture usuelle d’entiers, sans zéro ajouté à gauche, le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. À nombre de chiffres égal, le premier chiffre différent en partant de la gauche permet de conclure.

Pour comparer des quantités, on les exprime dans la même unité : 18 dizaines = 180 unités, donc 18 dizaines > 175 unités.

Exemple expliqué

Compare 4 072 315 et 4 027 315.

  1. Les deux nombres comportent sept chiffres. Je les aligne selon leurs rangs.
  2. Je compare de gauche à droite :<br>les chiffres des millions sont égaux : 4 ;<br>ceux des centaines de mille sont égaux : 0.
  3. Au rang des dizaines de mille, je lis 7 dans le premier nombre et 2 dans le second.
  4. 7 > 2 : je peux conclure sans comparer les chiffres suivants.

4 072 315 > 4 027 315.

À retenir

À nombre de chiffres égal, je compare de gauche à droite. Le premier chiffre différent décide.

Objectif 7 Encadrer et arrondir un nombre entier

L’essentiel

Encadrer à la centaine consiste ici à placer le nombre entre deux centaines consécutives. La borne inférieure est incluse : 47 600 ≤ 47 683 < 47 700.

Arrondir à la centaine consiste à choisir la centaine la plus proche. Si le nombre est déjà une centaine exacte, il reste inchangé. La même idée s’applique aux dizaines et aux milliers.

À égale distance des deux bornes, on choisit la plus grande : l’arrondi de 47 650 à la centaine est 47 700.

Exemple expliqué

Encadre 47 683 à la centaine, puis donne son arrondi à la centaine.

  1. Je repère deux centaines consécutives :<br>47 600 et 47 700.
  2. J’écris l’encadrement :<br>47 600 ≤ 47 683 < 47 700.
  3. Je compare les distances :<br>47 683 − 47 600 = 83 ;<br>47 700 − 47 683 = 17.
  4. 17 < 83 : la centaine la plus proche est 47 700.
    Sur un axe gradué de 47 600 à 47 700, le point d’abscisse 47 683 est plus proche de 47 700 Agrandir la figure

47 600 ≤ 47 683 < 47 700.<br>Arrondi à la centaine : 47 700.

À retenir

Je repère les deux bornes, puis la plus proche. À égale distance, je choisis la plus grande.