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Écritures des nombres décimaux

Objectif 1 Relier unités, dixièmes, centièmes et millièmes

L’essentiel

Un <b>dixième</b> est une des dix parts égales d’une unité : $\frac{1}{10} = 0,1$. Un <b>centième</b> vaut $\frac{1}{100} = 0,01$. Un <b>millième</b> vaut $\frac{1}{1 000} = 0,001$.

<b>1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes.</b>

1 dixième = 10 centièmes = 100 millièmes ; 1 centième = 10 millièmes. Chaque unité de numération vaut dix unités du rang situé juste à sa droite.

Exemple expliqué

Exprime 3 dixièmes et 7 centièmes en centièmes, puis en écriture décimale.

  1. Je choisis une même unité de numération : le centième.
    Une unité est partagée en dix dixièmes égaux. Un dixième est ensuite partagé en dix centièmes, puis un centième en dix millièmes. Les agrandissements ne représentent pas des longueurs à la même échelle. Agrandir la figure
  2. Un dixième vaut 10 centièmes. Donc 3 dixièmes valent 30 centièmes.
  3. J’ajoute les 7 centièmes : 30 + 7 = 37 centièmes.
  4. 100 centièmes forment une unité. 37 centièmes représentent donc $\frac{37}{100}$ d’une unité, soit 0,37.

3 dixièmes et 7 centièmes = 37 centièmes = 0,37.

À retenir

Avant de regrouper des quantités, je les exprime dans la même unité de numération.

Objectif 2 Lire un décimal et distinguer chiffre, valeur et nombre de centièmes

L’essentiel

La virgule indique la place des unités. À sa droite viennent les <b>dixièmes</b>, les <b>centièmes</b>, puis les <b>millièmes</b>. D’autres rangs peuvent suivre.

23,405 se lit « vingt-trois unités et quatre cent cinq millièmes ». Sa partie entière est 23 et sa partie décimale est 0,405.

Le <b>rang</b> est une position. La <b>valeur d’un chiffre</b> dépend de cette position : dans 23,405, le chiffre 4 représente 4 dixièmes, soit 0,4 unité.

Dans 23,405, le <b>chiffre des centièmes</b> est 0. Le <b>nombre de centièmes entiers</b> contenus dans 23,405 est 2 340 : 23,405 = 2 340 centièmes + 5 millièmes.

Exemple expliqué

Dans 23,405, quel est le chiffre des centièmes ? Combien de centièmes entiers ce nombre contient-il ?

  1. Je place les chiffres dans le tableau. Les unités sont juste avant la virgule.
    Tableau de numération de 23,405 : 2 dizaines, 3 unités, 4 dixièmes, 0 centième et 5 millièmes. La virgule suit les unités. Agrandir la figure
  2. Le deuxième chiffre après la virgule est 0. Le chiffre des centièmes est donc 0.
  3. Pour compter les centièmes entiers, je regroupe tout ce qui atteint le rang des centièmes : 23 unités valent 2 300 centièmes et 4 dixièmes valent 40 centièmes.
  4. 2 300 + 40 = 2 340 centièmes. Les 5 millièmes restants ne forment pas un centième entier supplémentaire.

Chiffre des centièmes : 0.<br>Nombre de centièmes entiers : 2 340.

À retenir

Un chiffre est compris entre 0 et 9. Le nombre de centièmes compte tous les centièmes entiers contenus dans le nombre.

Objectif 3 Passer entre écriture décimale et fraction décimale

L’essentiel

Une <b>fraction décimale</b> est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc. Par exemple : $\frac{47}{100} = 0,47$.

Le dénominateur indique l’unité de numération : 10 pour les dixièmes, 100 pour les centièmes, 1 000 pour les millièmes. Le numérateur en donne le nombre.

Pour écrire un décimal sous forme de fraction décimale, je choisis 10, 100 ou 1 000 selon le dernier rang utilisé. Un même nombre admet plusieurs écritures : $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{50}{100}$.

Exemple expliqué

Écris 6,035 sous forme d’une fraction décimale.

  1. Le dernier chiffre est au rang des millièmes : je choisis 1 000 au dénominateur.
  2. Je compte en millièmes : 6 unités = 6 000 millièmes ; 3 centièmes = 30 millièmes ; il reste 5 millièmes.
  3. 6 000 + 30 + 5 = 6 035 millièmes. Le numérateur est donc 6 035.
  4. J’écris $6,035 = \frac{6 035}{1 000}$. Le zéro des dixièmes garde sa place dans le numérateur.

$6,035 = \frac{6 035}{1 000}$.

À retenir

Le dénominateur nomme l’unité de numération. Le numérateur compte ces unités, y compris celles qui forment la partie entière.

Objectif 4 Décomposer et recomposer un nombre décimal

L’essentiel

On peut décomposer un décimal en sa partie entière et les valeurs de ses chiffres après la virgule.

$28,409 = 28 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{9}{1 000}$. Un terme nul peut ne pas être écrit : $28,409 = 28 + \frac{4}{10} + \frac{9}{1 000}$.

On peut aussi regrouper toute la partie décimale : $28,409 = 28 + \frac{409}{1 000}$. C’est la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

Exemple expliqué

Décompose 28,409 en sa partie entière et des fractions décimales.

  1. La partie entière est 28 : je commence par écrire 28.
  2. Le chiffre des dixièmes est 4 : j’ajoute $\frac{4}{10}$.
  3. Le chiffre des centièmes est 0 : il n’y a pas de centième à ajouter.
  4. Le chiffre des millièmes est 9 : j’ajoute $\frac{9}{1 000}$. Le zéro des centièmes reste nécessaire dans l’écriture 28,409.
  5. Je rassemble : $28,409 = 28 + \frac{4}{10} + \frac{9}{1 000}$. En regroupant les millièmes : $28,409 = 28 + \frac{409}{1 000}$.

$28,409 = 28 + \frac{4}{10} + \frac{9}{1 000} = 28 + \frac{409}{1 000}$.

À retenir

Dans une somme, un rang nul peut être omis. Dans l’écriture à virgule, je conserve les zéros nécessaires à la place des chiffres.

Objectif 5 Utiliser les zéros sans changer la valeur d’un nombre

L’essentiel

Ajouter ou supprimer des <b>zéros à la fin de la partie décimale</b> ne change pas le nombre : 4,07 = 4,070 = 4,0700.

Les zéros placés au début de la partie entière peuvent être supprimés : 004,07 = 4,07. Si le nombre est inférieur à 1, on écrit un zéro avant la virgule : 0,07.

Un <b>zéro de position</b> garde la place d’un rang : dans 4,07, le zéro des dixièmes est nécessaire. 4,07 ≠ 4,7 car 7 centièmes ne valent pas 7 dixièmes.

Exemple expliqué

Écris 004,0700 avec le moins de chiffres possible, sans changer sa valeur.

  1. Je supprime les deux zéros devant le 4 dans la partie entière : 4,0700.
  2. Je supprime les deux zéros tout à droite de la partie décimale : 4,07.
  3. Je garde le zéro entre la virgule et le 7 : il place le 7 au rang des centièmes.
    Dans 4,07, 7 est au rang des centièmes. Dans 4,70, 7 est au rang des dixièmes. Dans 4,070, le zéro final ajoute un rang de millièmes nul. Agrandir la figure
  4. Je contrôle les unités de numération : 4 unités et 7 centièmes dans les deux écritures.

004,0700 = 4,07.

À retenir

Je peux enlever les zéros finaux après la virgule, mais je garde ceux qui placent un chiffre au bon rang.

Objectif 6 Reconnaître un nombre décimal

L’essentiel

Un <b>nombre décimal</b> peut s’écrire comme une fraction à numérateur entier et à dénominateur 1, 10, 100, 1 000, etc. Il possède une écriture décimale avec un <b>nombre fini de chiffres après la virgule</b>.

Tout nombre entier est un nombre décimal : $6 = 6,0 = \frac{60}{10}$. Un décimal ne s’écrit donc pas obligatoirement avec une virgule.

Une fraction peut représenter un nombre décimal sans être elle-même une fraction décimale : $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$.

$\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal : son écriture 0,333… continue sans fin avec des 3. Un arrondi comme 0,33 est un nombre décimal, mais il n’est pas égal à $\frac{1}{3}$.

Exemple expliqué

Parmi 6 ; 0,125 ; $\frac{3}{4}$ ; $\frac{1}{3}$, quels nombres sont décimaux ?

  1. 6 est entier. Il possède l’écriture 6,0 : c’est un nombre décimal.
  2. 0,125 possède trois chiffres après la virgule : $0,125 = \frac{125}{1 000}$. C’est un nombre décimal.
  3. $\frac{3}{4} = 0,75$. Son écriture décimale est finie : c’est aussi un nombre décimal.
  4. $\frac{1}{3} = 0,333\ldots$ : les chiffres 3 continuent sans fin. Il n’existe pas d’écriture décimale finie de ce nombre.

6, 0,125 et $\frac{3}{4}$ sont décimaux. $\frac{1}{3}$ ne l’est pas.

À retenir

Je cherche une écriture décimale finie. Je ne me fie ni à la présence d’une virgule, ni au seul dénominateur de la fraction affichée.

Objectif 7 Relier pourcentages, fractions sur cent et décimaux

L’essentiel

Le symbole <b>%</b> se lit « pour cent ». 37 % signifie 37 pour 100 : $37\ \% = \frac{37}{100} = 0,37$.

Le tout correspond à 100 %, soit 1 ; 0 % correspond à 0. La moitié correspond à 50 %, soit 0,5 ; le quart correspond à 25 %, soit 0,25.

Pour passer d’un pourcentage à un décimal, je l’écris en centièmes. Pour revenir au pourcentage, je compte les centièmes du décimal : 0,4 = 0,40 = 40 %.

Exemple expliqué

37 cases sur les 100 cases égales d’une grille sont marquées. Écris la part marquée sous forme de fraction, de décimal et de pourcentage.

  1. Le tout est la grille entière, partagée en 100 cases égales.
    Une unité partagée en 100 cases égales. Les trois premières lignes de dix cases et sept cases de la quatrième sont marquées, soit 37 cases sur 100. Les marques restent reconnaissables sans couleur. Agrandir la figure
  2. 37 cases sur 100 représentent $\frac{37}{100}$ de la grille.
  3. 37 centièmes s’écrivent 0,37.
  4. 37 pour 100 s’écrivent 37 %. Les trois écritures représentent la même part.

$\frac{37}{100} = 0,37 = 37\ \%$.

À retenir

Le signe % contient l’idée « sur 100 ». Je garde l’unité de référence et je ne confonds pas 7 % avec 0,7 : 7 % = 0,07.