kliks. 6e

Repérage, comparaison et arrondis

Objectif 1 Lire une graduation et déterminer son pas

L’essentiel

Une <b>demi-droite graduée</b> possède une origine d’abscisse 0 et une unité de longueur. Dans le sens de la flèche, les nombres augmentent. Sur un extrait, l’origine peut ne pas être représentée.

Une graduation régulière partage la demi-droite en <b>intervalles égaux</b>. Le <b>pas</b> est l’écart entre les nombres associés à deux traits consécutifs.

Pour trouver le pas entre deux repères connus, je divise l’écart entre leurs nombres par le nombre d’intervalles qui les séparent. Quatre traits délimitent trois intervalles.

Exemple expliqué

Sur la figure, quel est le pas de la graduation entre 1,2 et 1,8 ?

  1. Je repère les deux nombres connus : 1,2 et 1,8.
    Extrait de demi-droite : les repères 1,2 et 1,8 sont séparés par trois intervalles égaux et quatre traits de graduation. Agrandir la figure
  2. Je compte les espaces entre les traits : il y a 3 intervalles égaux, même si je vois 4 traits.
  3. L’écart entre les deux nombres est 1,8 − 1,2 = 0,6. Un intervalle correspond donc à 0,6 ÷ 3 = 0,2.
  4. Je contrôle en avançant de 0,2 : 1,2 ; 1,4 ; 1,6 ; 1,8.
    Les quatre traits portent 1,2 ; 1,4 ; 1,6 ; 1,8. Les trois intervalles ont chacun pour valeur 0,2. Agrandir la figure

Le pas est 0,2.

À retenir

Je compte les intervalles, puis je répartis l’écart entre les deux repères connus.

Objectif 2 Lire l’abscisse d’un point et placer un nombre décimal

L’essentiel

L’<b>abscisse</b> d’un point est le nombre qui repère sa position sur la demi-droite graduée. A(2,6) signifie « A a pour abscisse 2,6 ».

Pour lire ou placer une abscisse, je détermine le pas, puis je compte les intervalles depuis un repère connu. Je garde le même pas sur tout l’extrait.

Si une unité est partagée en 10 intervalles égaux, le pas est 0,1. Si un dixième est partagé en 10 intervalles égaux, le pas est 0,01.

Exemple expliqué

Lis l’abscisse de A, puis place B d’abscisse 2,3 sur la même graduation.

  1. Entre 2 et 3, je compte 10 intervalles. Le pas est (3 − 2) ÷ 10 = 0,1.
    Extrait gradué de 2 à 3 en dix intervalles égaux. A est marqué par une croix sur le sixième trait après 2. Agrandir la figure
  2. A est au sixième trait après 2. Je compte donc 6 intervalles de 0,1.
  3. L’abscisse de A est 2 + 6 × 0,1 = 2,6.
  4. Pour placer B(2,3), je pars de 2 et j’avance de 3 intervalles : 2,1 ; 2,2 ; 2,3.
  5. Je marque B par une croix sur ce trait. B est à gauche de A, car 2,3 est inférieur à 2,6.
    Sur la même graduation, A est au sixième trait après 2 et B au troisième trait après 2. Chaque intervalle vaut 0,1. Agrandir la figure

A(2,6). B(2,3) se place au troisième trait après 2.

À retenir

Je vérifie toujours le pas avant de compter. Un trait ne représente pas toujours un dixième.

Objectif 3 Comparer et ranger des nombres décimaux

L’essentiel

<b>Comparer</b> deux nombres, c’est dire lequel est le plus petit, le plus grand, ou s’ils sont égaux. On utilise <, > ou =. Sur une demi-droite orientée vers la droite, le plus grand est le plus à droite.

<b>≤</b> signifie « inférieur ou égal à » ; <b>≥</b> signifie « supérieur ou égal à ». Ainsi, 3,5 ≤ 3,50 est vrai car les deux nombres sont égaux.

Je compare d’abord les parties entières, puis les dixièmes, les centièmes, etc. Le premier rang différent permet de conclure. Ajouter des zéros finaux ne change pas la valeur : 6,4 = 6,40 > 6,35.

L’<b>ordre croissant</b> va du plus petit au plus grand ; l’<b>ordre décroissant</b> va du plus grand au plus petit.

Exemple expliqué

Range 6,4 ; 6,35 ; 6,405 dans l’ordre croissant.

  1. Les trois nombres ont la même partie entière : 6.
  2. J’écris autant de chiffres après la virgule pour comparer les mêmes rangs : 6,400 ; 6,350 ; 6,405.
  3. 6,350 a 3 dixièmes, contre 4 pour les deux autres : c’est le plus petit.
  4. 6,400 et 6,405 ont les mêmes dixièmes et centièmes. Aux millièmes, 0 < 5 : 6,400 < 6,405.
  5. Je remets les écritures de départ dans l’ordre : 6,35 < 6,4 < 6,405.

6,35 < 6,4 < 6,405.

À retenir

Je compare des chiffres de même rang. Le nombre de chiffres après la virgule ne suffit pas pour comparer.

Objectif 4 Encadrer un décimal à une précision donnée

L’essentiel

<b>Encadrer</b> un nombre, c’est donner une borne inférieure et une borne supérieure. Ici, on écrit la borne inférieure avec ≤ et la borne supérieure avec <.

À l’unité, les bornes sont deux entiers consécutifs. Au dixième, elles sont espacées de 0,1 ; au centième, de 0,01.

Par exemple : 4 ≤ 4,276 < 5 ; 4,2 ≤ 4,276 < 4,3 ; 4,27 ≤ 4,276 < 4,28. La borne inférieure est conservée si le nombre lui est déjà égal : 4,20 ≤ 4,20 < 4,21.

Exemple expliqué

Encadre 4,276 au dixième puis au centième, avec ≤ à gauche et < à droite.

  1. Au dixième, je garde les unités et les dixièmes : la borne inférieure est 4,2.
  2. J’ajoute un dixième pour la borne supérieure : 4,2 + 0,1 = 4,3. Donc 4,2 ≤ 4,276 < 4,3.
  3. Au centième, je garde les unités, les dixièmes et les centièmes : la borne inférieure est 4,27.
  4. J’ajoute un centième : 4,27 + 0,01 = 4,28. Donc 4,27 ≤ 4,276 < 4,28.
    Extrait de 4,20 à 4,30 partagé en dix intervalles de 0,01. Le point A d’abscisse 4,276 est entre les traits 4,27 et 4,28. Agrandir la figure

Au dixième : 4,2 ≤ 4,276 < 4,3. Au centième : 4,27 ≤ 4,276 < 4,28.

À retenir

Les deux bornes doivent être consécutives à la précision demandée. Un encadrement donne les deux bornes ; un arrondi en choisit une.

Objectif 5 Intercaler un décimal entre deux décimaux

L’essentiel

<b>Intercaler</b> un nombre entre deux autres, c’est choisir un nombre <b>strictement plus grand</b> que le plus petit et <b>strictement plus petit</b> que le plus grand.

Entre deux nombres décimaux distincts, il existe toujours des nombres décimaux, même s’ils sont très proches : 3,4 < 3,45 < 3,5.

Ajouter des zéros finaux permet de voir un rang plus précis : entre 2,31 et 2,32, on peut choisir 2,315, car 2,310 < 2,315 < 2,320. Il y a plusieurs réponses possibles.

Exemple expliqué

Propose un nombre décimal strictement compris entre 3,4 et 3,5.

  1. J’écris les deux bornes au centième : 3,40 et 3,50.
  2. Je peux choisir un nombre de centièmes entre 40 et 50. Je prends 45 : le nombre proposé est 3,45.
  3. Je vérifie les deux comparaisons : 3,40 < 3,45 et 3,45 < 3,50.
    Extrait de 3,40 à 3,50, partagé en dix intervalles de 0,01. M a pour abscisse 3,45, strictement entre les deux extrémités. Agrandir la figure
  4. Je conclus : 3,4 < 3,45 < 3,5. D’autres réponses conviennent, par exemple 3,41 ou 3,49.

Par exemple, 3,45. Toute valeur strictement comprise entre 3,4 et 3,5 convient.

À retenir

Si aucun chiffre ne semble disponible au rang observé, j’ajoute un rang après la virgule et je vérifie les deux inégalités strictes.

Objectif 6 Arrondir à l’unité, au dixième et au centième

L’essentiel

<b>Arrondir</b> consiste à choisir le nombre le plus proche à la précision demandée : un entier à l’unité, un multiple de 0,1 au dixième, un multiple de 0,01 au centième. À égale distance, <b>on choisit le plus grand</b>.

Pour un nombre positif ou nul, je regarde le chiffre situé juste après le rang demandé. De 0 à 4, je garde le nombre à ce rang ; de 5 à 9, j’ajoute une unité de ce rang, avec une retenue si nécessaire. Je ne fais qu’un seul arrondi, directement à la précision demandée.

Le signe <b>≈</b> signifie « est approximativement égal à ». Par exemple, 4,276 ≈ 4,28 au centième. Les zéros finaux peuvent indiquer la précision : 9,995 ≈ 10,00 au centième.

Certains nombres n’ont pas d’écriture décimale finie. Par exemple, $\frac{1}{3}$ s’écrit 0,333… et son arrondi au centième est 0,33. π s’écrit 3,14159… et son arrondi au centième est 3,14. Ces arrondis ne sont pas les valeurs exactes.

Exemple expliqué

Arrondis 9,995 au centième.

  1. Au centième, les deux bornes sont 9,99 et 10,00. Elles sont espacées de 0,01.
  2. 9,995 est exactement au milieu : il est à 0,005 de chaque borne. À égale distance, je choisis la plus grande : 10,00.
    Extrait de 9,99 à 10,00. Le point N d’abscisse 9,995 est au milieu. Sa distance numérique à chaque borne est 0,005. Agrandir la figure
  3. Je retrouve le résultat avec les chiffres : le chiffre des millièmes est 5. J’ajoute donc un centième à 9,99 : 9,99 + 0,01 = 10,00.
  4. J’écris 9,995 ≈ 10,00 au centième. Les retenues peuvent modifier plusieurs chiffres, y compris la partie entière.

L’arrondi de 9,995 au centième est 10,00.

À retenir

Je regarde le chiffre juste après le rang demandé et je fais les retenues. Je distingue un arrondi d’une valeur exacte.